勉強

[大数の法則]神はサイコロを振らないらしいから私が代わりに振る

三浦さん
三浦さん
突然ですが勝負しませんか??
秋月さん
秋月さん
えっ…。
三浦さんには勝てる気がしないんですけど…。
三浦さん
三浦さん
なんでそう思うのかは聞かないことにしますが。
勝負といってもサイコロを使った勝負です。
秋月さん
秋月さん
ほっ…。
サイコロを使った勝負ですか。
わかりました! どんとこいです!
三浦さん
三浦さん
簡単な勝負ですよ。
先に1を出したほうが勝ちです。
秋月さん
秋月さん
なるほど。
三浦さんのことだからないと思いますけど「ざわざわ…」みたいにイカサマサイコロってわけではないですよね??
三浦さん
三浦さん
秋月さんに疑われているんですね私…。
ふふ…。あとでじっくりお話しますかね…。
大丈夫ですよ。確率は等しく1/6ですし。
秋月さん
秋月さん
(私終わったな…)
で、でもだってサイコロって確率1/6って言われても実感わかないんですもん。
三浦さん
三浦さん
その感覚はわかります。
おそらく誰もが一度は考えたと思いますよ。本当かなって…。
三浦さん
三浦さん
では今回はサイコロでそれぞれの目が出る確率ははたして1/6なのか見ていきましょう。

大数の法則

今回はサイコロを題材に大数の法則についてざっくり説明できたらなと思います。

私は昔, サイコロの各目が出る確率は等しく1/6なんだって言われたとき,

本当かそれ??

って思ってました。

だって私がサイコロを振ってもそんな均等に各目がでたことなんてなかったので…。

そんなに振った経験もありませんが。

ではまず先に答えを言っておきます。

サイコロを振っても1/6で各目はでません!!

ただし, 1/6に非常に近い確率で生じることは保証されます。

ですのでサイコロの問題では各目が生じる確率は「等しく」1/6とするって書いてあるんですね。

確率の本で, もちろん意図的に「等しく」って書くのが面倒だから省いている本はいいのですが,

そうでない本があったら…。 (コルモゴロフの公理から確率を見直し…(略))

気を取り直して, では早速見ていくとしましょう!!

簡単Ver

ある試行(繰り返すことが可能である行為)を1回して, 求めたい確率Pがわからなくても

何回も何回も気が狂うほど試行すれば(n回)すれば, 求める事象がz回出てきます。

例えば, 今回の場合は「サイコロを振る」っていうのが試行にあたり,

「1の目を出す」っていうのが事象にあたります。

そのzとnを用いた,

$$\frac { z }{ n } $$

を計算します。このnを気が狂うほど大きくしまくると, 求める確率Pに近くなります。

$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { z }{ n } } =\quad P$$

これを大数の法則といいます。

つまり, 簡単に言うと「いっぱい頑張ったら求める確率になるよ」

って言っているのです。

わかってます。私もこれだけ見ても「は??」って感じですからね。

なので私が実際にめちゃくちゃサイコロを振りまくりますよ!!!!!

ごめんなさい。私(Mac book pro)が頑張ってサイコロを振ります。

頑張れPython!!!

今から私が?頑張ってサイコロを振った結果を紹介しますね。

それぞれ 100 ,500 , 1000 , 5000 , 100000 , 10000000 回サイコロを振りました。

どうでしょうか。

100回振ったところで1/6になんか全然ならないのがわかりますね。

10万回, 1000万回振ってようやく均等に1/6に近い感じででてるなって感じです。

実は…

実は数学の確率って2種類あるんですよね。

「数学的確率」と「統計的確率」です。

私がん??って思っていたサイコロの各目の出る確率は1/6です!っていうのは

数学的確率っていいます。

そして「実際に」先程のように試行を繰り返すことで

得られる確率を統計的確率っていいます。

なので正確に大数の法則を考えると,

試行回数めちゃくちゃ頑張ると統計的確率が数学的確率に近づくよ〜〜

っていってるんですね。

さいごに

ほんとうはですね

$$P\left( |\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ Xi } |>a \right) \le \frac { V[X] }{ n{ a }^{ 2 } } $$

この式で証明したかったんですけど, さすがにこれはざっくりの説明こえてるかもなぁって

思ったので今回は見送りますね。

もし先程の式での説明がいるって方がいたら, Peingでもなんでもいいので言っていただければ

記事にしたいと思います。(Pythonのコードも同様です。)

参考書籍

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しまさん
てくてくぷれいす運営者のしまさんです. 高専→大学編入してから行動的な学生ブロガー? / 自身の変化を求めてブログを6月から開始 / グレープフルーツと本が好き / Distributed SNSやSecurity,プログラミングやVR等のIT系や自身の編入体験談や高専のこと,大学生活を書いてます(たまに小ネタ) / Progateで勉強中