こんにちは，しまさん（@shimasan0x00）です．
だいぶ前にTwitterのほうで「私は使わない数学」っていうのをやるみたいな話をしました．
どういうのを書こうかなと思ったんですが，普段使わないような少し変わった数学のあれこれを紹介できたらみなさんが”少し”でも楽しめるかなと考えました．
そこで今回（リクエストがなければ初回で終わるかもですが）は有名な定理に似ている”三”ではなく”四”平方の定理について紹介したいと思います．
四平方の定理とは
四平方の定理とはひとことでいうと三平方の定理の３次元空間バージョンです．
そう，四平方の定理はかの有名な三平方の定理さんと親戚のような関係なんです笑．
三平方の定理だと，
$${ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ c }^{ 2 }$$
ですが四平方の定理だと，
$${ S }^{ 2 }={ { S }_{ 1 } }^{2 }+{ { S }_{ 2 } }^{ 2 }+{ { S }_{ 3 } }^{2}$$
となります．
ここでS○はそれぞれの三角形の面積です．また，△ABC以外は全て直角三角形です．
三平方の定理では線分の長さでしたが四平方の定理では各三角形の面積を用います．
証明
$$OA=a,OB=b,OC=c$$とし，各座標を$$A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$$とする．
このとき△ABC以外の三角形の面積は以下のように表すことができる．
$$△OAB=\frac { 1 }{ 2 } ab\quad ,\quad △OBC=\frac { 1 }{ 2 } bc\quad ,\quad △OCA=\frac { 1 }{ 2 } ca\quad $$
また，
$$\vec { AB } =\quad \left( \begin{matrix} -a ,\ b ,\ 0 \end{matrix} \right) ,\vec { AC } =\quad \left( \begin{matrix} -a ,\ 0 ,\ c \end{matrix} \right) $$であることから，
$${ \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }=\quad { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\quad ,\quad { \left| \vec { AC } \right| }^{ 2 }=\quad { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }\quad ,\quad \vec { AB } ・\vec { AC } \quad =\quad { a }^{ 2 }$$
となります．
これらのことを用いると△ABCは，$$△ABC\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { \left| \vec { AB } \right| }^{ 2 }{ \left| \vec { AC } \right| }^{ 2 }-\quad { \left( \vec { AB } \cdot \vec { AC } \right) }^{ 2 } } $$
$$△ABC\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \left( { a }^{ 2 }\quad +\quad { b }^{ 2 } \right) \left( { a }^{ 2 }\quad +\quad { c }^{ 2 } \right) -\quad \left( { a }^{ 2 } \right) ^{ 2 } } $$
$$△ABC\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { a }^{ 4 }+{ a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }{ a }^{ 2 }-{ a }^{ 4 } } $$
$$△ABC\quad =\quad \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } { \left( ab \right) }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { \left( bc \right) }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } { \left( ca \right) }^{ 2 } } $$
ここでもう一度図を見てみましょう．
それぞれの三角形の面積を図のように置き換えると，
$$S\quad =\quad \sqrt { { { S }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { S }_{ 2 } }^{ 2 }+{ { S }_{ 3 } }^{ 2 } } $$
$$\therefore \quad { S }^{ 2 }\quad =\quad { { S }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { S }_{ 2 } }^{ 2 }+{ { S }_{ 3 } }^{ 2 }$$
さいごに
今回は”少し”面白い数学として”四”平方の定理を紹介しました．
たまにはこういうので息抜きもいいですね．数式を書くのは面倒ではありましたが笑．
もしよかったらリアクションをいただければ幸いです．
